Pasar de Ecuación General a Canónica y de Ecuación Canónica a General de una Parábola

En este artículo Se mostrará como alternar entre las 2 principales ecuaciónes de una parábola, con ejemplos detenidamente explicados.

Que son las ecuaciónes canonicas y ecuaciones generales de una parábola

Una parábola puede estar expresada en dos ecuaciones diferentes, una llamada la ecuación canónica y otra llamada ecuación general, la diferencia entre estas dos es que la ecuación canónica es un poco mas sencilla de interpretar a simple vista, es decir que con ella encontrar los puntos clave como el vértice, el parámetro o la dirección no es complicado, por lo que es más fácil graficar a partir de ella, en cambio la ecuación general es más útil cuando se trata de funciones y se quiere evaluar la parábola en cierto valor de “x”.

Ambas ecuaciones tienen sus ventajas y desventajas, por tal motivo es importante saber como pasar de una a otra. A la hora de pasar una ecuación general a una ecuación canónica y viceversa se van a utilizar ciertos procesos de algebra, como reglas de factorización o leyes de exponentes, pero en los ejemplos que se desarrollaran aquí se explicará todo paso a paso.

Para demostrar como pasar de una ecuación general a una canónica se usará la ecuación:

2x² + 8x - 10y +30 = 0

• Lo primero que hay que hacer es separar las x_s y las y_s
• 2x² + 8x - 10y +30 = 0
• 2x² + 8x = 10y -30
• Primero se trabajará con el lado de las x, primero hay que asegurarse que el número que acompaña a x² sea igual a 1, pero como se puede observar el número que acompaña a x² es 2, entonces la forma de volver este 2 en 1 es dividiendo el término entre dos, pero para mantener la igualdad se dividirán todos los términos entre 2.
• 2x²/2
  +
  8x/2
  =
  10y/2
  -
  -30/2
• Y se realizan las operaciones
• x² + 4x = 5y -15
• Hecho esto se puede hacer un trinomio cuadrado perfecto con el lado de las "x", para ello se tiene que dividir el segundo término entre dos y este resultado elevarlo al cuadrado y el número que de se agregará a ambos lados de la ecuación
• Segundo termino = "4"x
• 4/2
  = 2
• 2² = 4
• Ahora se agrega el 4 a ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad
• x² + 4x + 4= 5y -15 + 4
• Ahora teniendo el trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar para convertirlo en un binomio al cuadrado, para ello se extrae la raíz cuadrada del primer termino, que sería "x" y la raiz del último termino (4) que sería 2 y entre estos dos se pone el signo del segundo termino
• (x + 2)²= 5y -15 + 4
• Y ahora, pasandose al lado derecho se reducen términos semejantes
• (x + 2)²= 5y -11
• Teniendo ya resuelto el lado de las x se resolvera el lado de "y" que se resolverá factorizando la expresion, como se puede ver la "y" esta multiplicado por 5, por lo que se puede sacar factor común de 5 en "y" y 11
• para tener un binomio multiplicado por un número se tiene que encontrar un número que multiplicado por 5 de como resultado 11, como el resultado de esto no es un entero se expresará como fracción
• (x + 2)²= 5(y -
  11/5
  )

Para mas ejemplos ir al apartado de ejemplos más abajo

En este ejemplo se utilizará la siguiente ecuación

(x+2) ² = 5 (y-1)

• Primero se resolverá el lado izquierdo, primero hay que recordar como descomponer un binomio al cuadrado: es el primer termino al cuadrado más 2 veces el primero por el segundo más el segundo termino al cuadrado.
• (a+b)² = a² + 2*a*b + b²
• (a-b)² = a² - 2*a*b + b²
• Entonces.
• (x+2)² = 5 (y-1)
• x² + 2(x)(2) + 2²= 5(y-1)
• x² + 4x + 4= 5(y-1)
• Ahora simplemente se resuelve el parentesis de la derecha distribuyendo el 5 con los dos términos del binomio
• x² + 4x + 4= 5y -5
• Por ultimo se pasan todos los términos al lado izquierdo y se ordenan de la siguiente manera: ax² + bx + cy + d = 0
• x² + 4x - 5y +9 = 0

Estos ejemplos se harán de manera más rápida, si hay alguna duda de algún proceso volver a ver los dos ejemplos anteriores

Artículos relacionados